50° - Matemática

18/11/15

Exercícios

1) O gráfico abaixo mostra a distribuição da população brasileira por regiões de acordo com o Censo Demográfico de 2010.

     Considerando que a população total do Brasil é aproximadamente 191 milhões de habitantes e que no gráfico o ângulo da região Centro Oeste é de 28,8°. Calcule a população da região Centro Oeste em porcentagem e em número de habitantes.

           360 – 100%            x=2880 -> x=8%

         28,8° –   x                      360

                                8% de 191.000.000=15.280.000 habitantes.

2) Um dado foi lançado 1200 vezes, obtendo-se o seguinte resultado:

Face	1	2	3	4	5	6
Números de vezes	248	355	175	180	126	116

    a) Faça uma tabela de frequências relativas expressando os resultados em porcentagem.

Face	Número de vezes	Frequências relativas
1	248	20,7%
2	355	29,6%
3	175	14,6%
4	180	15,0%
5	126	10,5%
6	116	9,7%

    b) Será que o dado é honesto? Justifique. Não é honesto, pois a probabilidade de cada face é de 16,6%, e como a face 1 e 2 tem um número bem maior.

49° - Matemática

03/11/15

Respostas

4)

Salários	FA	FR	VM	360°
500 – 600	3	15%	550	54°
600 – 700	5	25%	650	90°
700 – 800	4	20%	750	72°
800 – 900	6	30%	850	108°
900 – 1000	2	10%	950	36°
TOTAL	20	100%		360°

(MA)=3.550+5.650+4.750+6.850+2.950=14.900=745

                                     20                                   20

(MO)=850,00

(ME)=750+750=750

                  2

48° - Matemática

28/10/15

1) Considere os seguintes valores: 126, 130, 126, 102. Calcule:

     a) MA;

     b) MP com peso 2, 3, 1 e 2 respectivamente;

     c) A medida ME;

     d) A moda MO;

2) Considere a tabela abaixo:

Número de Irmãos	0	1	2	3	Total
FA	8	15	12	5	40

     a) Calcule a MA;

     b) Determine a MO;

     c) Construa um sectograma;

3) Considere a tabela:

Peso Kg	401 – 44	441 – 48	481 – 52	521 – 56	561 – 60	Total
FA	1	3	7	6	3	20

     a) Calcule a MA;

     b) Determine a MO;

     c) Construa um histograma;

5) Calcule a MP do aproveitamento anotado abaixo:

      8,0 na prova        Pesos: prova 2

      7,0 na pesquisa               pesquisa 3

      9,0 no debate                  debate 1

      5,0 no trabalho               trabalho 2

6) Considere a tabela abaixo:

Idade	13	14	15	16
FA	3	2	4	1

      Construa um gráfico de linha e calcule MA, MO, ME.

47° - Matemática

27/10/15

Medidas de Tendência Central

(MA) Medida Aritmética:

          Considere os dados coletados referentes às idades de 5 pessoas: 22; 20; 21; 24; 20;

          Determine a (MA) relativa a esses dados:

              (MA)=20+20+21+22+24=107=21,4

                                       5                    5

(MP) Medida Aritmética Ponderada:

          Nela considera-se os “pesos” para cada dado coletado, Ex.: Um aluno deteve nota 6,5 na prova (peso 2) 7,0 na (peso 3). 6,0 no debate (peso 1) e 7,0 na tabela de equipe (peso 2).

               (MP)=2.6,5+3.70+1.6,0+2.7,0=54=6,75

                                    2+3+1+2

(ME) Mediana:

           Quando o número de dados considerado por impor a mediana é o elemento central disposto em ordem crescente.

Ex.: Considere os dados: 3, 5, 2, 0, 2, 1, 3, 4, 5, 7, 0, 2, 3, 4 e 7;

                               0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 7

                                     7 dados        ME          7 dados

            Quando o número de dados é por: 12, 16, 14, 12, 13, 16, 16 e 17 anos.

                              12, 12, 13, 14, 16, 16, 16, 17

                                                  14+16

                                                       2

                                                      ||

                                                      15

(MO) Moda:

            Considere os dados coletados referente as idades de 6 pessoas: 2, 3, 2, 1, 2 e 50;

            Determine a (MO) relativa a esses dados: (MO)=2.

* Note que há um distanciamento nos valores dos dados coletados, assim a MO mostra mais eficiência para caracterizar o grupo, do que a MA.

* Quando o valor que mais se repete não é o único, Ex.: 6,0; |7,5; 7,5|; 5,0 e 6,0 dizemos que a distribuição é “Bimodol” e a moda é 6,0 e 7,5 nesse caso;

* Quando não há modo chamamos de “Amadal”.

46° - Matemática

07/10/15

         1)      Construa uma sectograma com base na tabela abaixo:

         (alunos retidos por série)

Série	FA	FR
5ª	3	10%
6ª	6	20%
7ª	12	40%
8ª	3	10%
1EM	6	20%

Total:    30     100%

          2)      Na realização de uma prova foi anotado o tempo gasto por cada aluno:

Tempo	FA
431 – 46	3
461 – 49	6
491 – 52	12
521 – 55	3
551 – 58	6

45° - Matemática

06/10/15

Estatística

Representação e Linguagem Gráfica

               Com a utilização da representação gráfica podemos compreender de forma mais geral ou especificas que se apontados apenas seriam mais difíceis e muitas vezes impossíveis, com precisão.

               Dessa forma esses dados trabalhados estaticamente para uma efetiva compreensão.

Exemplo:

1)      Em um shopping a três de cinema, e o número de espectadores em cada uma delas em determinado dia da semana foi de 300 na sala A, 200 na sala B e 500 na sala C.

Elabore uma tabela simples e construa uma sectograma e justifique a situação gráfica.

Salas	FA	FR (%)
A	300	300/1000=0,3=30%
B	200	200/1000=0,2=20%
C	500	500/1000=0,5=50%

44º - Matemática

23/09/15

Potenciação da unidade imaginaria

Observe:

i⁰=1, pois todo número elevado a 0=1

i¹=i

i²=-1 por definição

i³=i².i=-1.i=-i

i⁴=i³.i=-i.i=-i2=1

i⁵=i⁴.i=1.i=i

i⁶=i⁵.i=i.i=i2=-1

i⁷=i⁶.i=-1.i=-i

i⁸=i⁷.i=-i.i=1

i⁹=i⁸.i=1.i=i

i¹⁰=i⁹.i=i.i=-1

i¹¹=i¹⁰.i=-1.i=-i

Exemplos

Calcule:

i¹³⁷=i¹=i

137: 4

  17  34

    1

O inverso de Z (a+bi)

Z^-1=(a+bi)^-1=    1    .a-bi=  a-bi  =a²-b²i^{2 -1}

            1        a+bi   a-bi  a²+b²

Exercícios

1) Calcule:

   a) i³⁶+i¹⁰²=0

   b) 3i⁹⁷+2i^-200-i=1+i

            i²⁴-i⁶⁶

   c) i¹²=1

   d) i⁴²=-1

   e) i¹⁹=-i

   f) (1-i)⁸=16

43° - Matemática

22/09/15

Multiplicação no conjunto C

Obtemos o produto aplicando a propriedade distributiva e as potencias de i.

Z₁.Z₂=(a+bi).(c+di)=ac+adi+bci+bdi^{2 -1}

                                =ac+(ad+bc)i-bd

                                =(ac-bd)+(ad+bc)i

                                     |                |

                Parte real <-                  -> Parte imaginária

V-1-i

V-25=V25.-1=5i

-1=i²

Calcule:
   a) (3-2i)-(1+3i)=2-5i                                                                                                              

   b) (9+4i)+(5-2i)-(8-i)=6+3i

   c) (12-3i)-(1+i)+(8+7i)=19+3i

   d) (6+i).(6-i)=37

   e) (2+3i).(2-3i)=13

   f) (1+2i).(-2+4i).(6-i)=-60+10i

   g) (3-4i).(3+4i)-2(3-i)=19+2i

42° - Matemática

41° - Matemática

40° - Matemática

01/08/15

Exemplos de Subtração de Números Complexos

Z₁=1+4i e Z₂=2-2i

Z₁-Z₂=(1+4i)-(2-2i)=1+4i-2+2i=-1+6i

Atividades

1) Calcule:

   a) (4+5i)-(1-2i)=5+7i

   b) (5+9i)-(-2+3i)=7+6i

   c) (4+i)-(-5-7i)=9+8i

   d) (-18+7i)-(-20-8i)=2+15i

   e) (-4+9i)-(2+3i)=-6-4i

39° - Matemática

28/08/15

Exemplos:

        ·         Z=2+5i

           2 -> parte real

           5 -> parte imaginaria

  

        ·         Z=-6i

           0 -> parte real

           -6 -> parte imaginaria

        ·         Z=1

               2

            1 -> parte real

            2

            0 -> parte imaginaria

Operações com números complexos

Adição:

        Considere os números complexos Z₁=-1+2i e Z₂=3+4i, calculamos Z₁+Z₂.

              (-1+2i)+(3+4i)=(-1+3)+(2+4)i=2+6i

Atividades

1) Calcule:

   a) (4+5i)+(1-2i)=(4+1)+(5-2)i=5+3i

   b) (-2+3i)+(5+9i)=(-2+5)+(3+9)i=3+12i

   c) (4+i)+(-5-7i)=(4-5)+(i-7)i=-1-6i

   d) (-20-8i)+(-18+7i)=(-20-18)+(-8+7)i=-38-1i

   e) (-7+9i)+(-5-10i)=(-7-5)+(9-10)i=-12-1i

38° - Matemática

26/08/15

Os números complexos

                   Introdução

        Uma das maiores contribuições ao desenvolvimento da álgebra, a fórmula resolutiva de equações cubicas, não tinha grandes aplicações práticas, sendo mais eficiente a resolução dessas equações por meio do método de aproximações sucessivas. Porém, do ponto de vista logico, a formula proposta por esses matemáticos trouxe grandes contribuições, promovendo discussões que culminaram no desenvolvimento dos números complexos.

                  Conjunto dos números complexos

         Já sabemos que no conjunto dos números reais, uma equação do tipo x²+a=0, com a>0, não possui solução, pois não existe um número real que elevado ao quadrado resulte em um número negativo.

            x²+a=0 -> x²=-a -> ±√-a

         Para solucionar esse tipo de problema, foi estabelecida uma extensão do conjunto dos números reais, obtendo um novo conjunto numérico, denominado conjunto dos números complexos, e indicado por Ȼ.

                 Representação algébrica de um número complexo

         Todo número complexo Z=(x,y) pode ser representado algebricamente. Um número complexo Z pode ser representado da seguinte maneira: Z=x+y_i com x ƐR, y ƐR e i²=-1, em que i é a unidade imaginaria.

         Note que um número complexo Z, escrito em sua forma algébrica, possui duas partes:

               Z=x+y_i

                 _|   |_

         parte        parte

          real      imaginaria

         Em um número complexo, caso a:

     ·         Parte imaginaria seja nula (y=0), dizemos que o número é real: Z=x+0_i -> Z=x

     ·         Parte real seja nula (x=0) e a parte imaginaria seja não nula (y≠0), dizemos que o número é imaginário puro: Z=0+y_i -> Z=y_i

37° - Matemática

19/08/15

Exemplo

                Determinar a equação geral da reta que passa pelo ponto A(3,1) e é paralela à reta r da equação 5x-y+1=0.

5x-y+1=0

5x+1=y

m=5

y-y₀=m(x-x₀)

y-1=5(x-3)

y-1=5x-15

y=5x-15+1

y=5x-14

Atividade

1) Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto P(3,2) e é paralela à reta s: 12x-4y+1=0.

        12x-4y+1=0

        12x+1=4y

        m=3

        y-y₀=m(x-x₀)

        y-2=3(x-3)

        y-2=3x-9

        y=3x-9+2

        y=3x-7

2) Escreva a equação geral da reta que passa pelo ponto P(-5,-3) e é paralela à reta s: 10x-5y+4=0.

        10x-5y+4=0

        10x+4=5y

        m=2

        y-y₀=m(x-x₀)

        y-(-3)=2(x-(-5))

        y+3=2x+10

        y=2x-3+10

        y=2x+7

36° - Matemática

18/08/15

Retas Paralelas

               Estudaremos, por meio de suas equações, as duas retas são paralelas. É evidente que retas paralelas ao eixo x são sempre paralelas entre si e, da mesma maneira, as retas paralelas ao eixo y também são paralelas entre si. Assim, cabe analisamos o caso em que as retas têm inclinação diferente de 0° e 90°.

               Observe, por exemplo, as retas r: -x+2y+4=0 e s: -2x+4y-4=0 em um mesmo plano cartesiano.

               É razoável supor que não há par ordenado que satisfaça simultaneamente as equações de r e s, ou seja, essas retas não têm ponto comum, sendo assim paralelas escrevendo equações na forma reduzida e analisando os respectivos coeficientes angulares.

   Reta r                Reta s

-x+2y+4=0       -2x+4y-4=0

 2y=x-4             4y=2x+4

y=1.x-2              y=1.x+1

    2                         2

m_r=1                  m_s=1

       2                         2